解三角函数的思想总结（通用12篇）
时间:2018-11-04 作者:工作汇报网解三角函数的思想总结（通用12篇）。
⌑ 解三角函数的思想总结 ⌑
教学目标
1、知识与技能
(1)了解周期现象在现实中广泛存在;(2)感受周期现象对实际工作的意义;(3)理解周期函数的概念;(4)能熟练地判断简单的实际问题的周期;(5)能利用周期函数定义进行简单运用。
2、过程与方法
通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象;从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义;根据周期性的定义，再在实践中加以应用。
3、情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
教学重难点
重点:感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点:周期函数概念的理解，以及简单的应用。
教学工具
投影仪
教学过程
创设情境，揭示课题
同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。(板书课题)
探究新知
1.我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片(投影图片)，注意波浪是怎样变化的?可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。请你举出生活中存在周期现象的例子。(单摆运动、四季变化等)
(板书：一、我们生活中的周期现象)
2.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：
①如何理解“散点图”?
②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么?
③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”?
④对于周期函数的定义，你的理解是怎样?
以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T;x必须是定义域内的任意值;f(x+T)=f(x)。
(板书：二、周期函数的概念)
3.[展示投影]练习:
(1)已知函数f(x)满足对定义域内的任意x，均存在非零常数T，使得f(x+T)=f(x)。
求f(x+2T)，f(x+3T)
略解：f(x+2T)=f[(x+T)+T]=f(x+T)=f(x)
f(x+3T)=f[(x+2T)+T]=f(x+2T)=f(x)
本题小结，由学生完成，总结出“周期函数的周期有无数个”，教师指出一般情况下，为避免引起混淆，特指最小正周期。
(2)已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数，且f(1)=20xx,求f(11)
略解：f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=20xx
(3)已知奇函数f(x)是R上的函数，且f(1)=2，f(x+3)=f(x)，求f(8)
略解：f(8)=f(2+2×3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2
巩固深化，发展思维
1.请同学们先自主学习课本P4倒数第五行——P5倒数第四行，然后各个学习小组之间展开合作交流。
2.例题讲评
例1.地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离y是时间t的函数吗?如果是，这个函数
y=f(t)是不是周期函数?
例2.图1-4(见课本)是钟摆的示意图，摆心A到铅垂线MN的距离y是时间t的函数，y=g(t)。根据钟摆的知识，容易说明g(t+T)=g(t),其中T为钟摆摆动一周(往返一次)所需的时间，函数y=g(t)是周期函数。若以钟摆偏离铅垂线MN的角θ的度数为变量，根据物理知识，摆心A到铅垂线MN的距离y也是θ的周期函数。
例3.图1-5(见课本)是水车的示意图，水车上A点到水面的距离y是时间t的函数。假设水车5min转一圈，那么y的值每经过5min就会重复出现，因此，该函数是周期函数。
3.小组课堂作业
(1)课本P6的思考与交流
(2)(回答)今天是星期三那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期几?7k(k∈Z)天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?
五、归纳整理，整体认识
(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些?
(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?
六、布置作业
1.作业：习题1.1第1,2,3题.
2.多观察一些日常生活中的周期现象的例子，进一步理解它的特点.
课后小结
归纳整理，整体认识
(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些?
(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?
课后习题
作业
1.作业：习题1.1第1,2,3题.
2.多观察一些日常生活中的周期现象的例子，进一步理解它的特点.
板书
⌑ 解三角函数的思想总结 ⌑
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
·初中三角函数积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·初中三角函数和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
最后，初中三角函数怎么学才能掌握好，才能为高中三角函数打下扎实基础?
既然谈到初中三角函数实为高中三角函数的基础，我给大家举一个高中的例子：
我记得有一年，有个高一的学生找到我，说高一数学学得很一般，希望我能给他点拨点拨。他就拿着一套卷子来到我办公室，上面有一道题是：
求这个函数的最值。
我一看高一的学生，连这个题都不会做，可见他的水平太一般了。这个题我几句话就能给他讲明白，但我不能光给他讲这个题，而是考虑这个孩子的问题出在哪儿，否则同样的题他还是不会做。
他说不知道。
他想了想：“sin(αβ)好像等于sinαsinβcosαcosβ。”
我都想跳楼了，一个高一的学生，两角和与差的三角函数都记不住，还有什么可说的?但是我这个人也比较固执，我一般要帮的学生，他再怎么差，我也要把他帮到底。我想今天豁出去了，我非要把他不会的根源挖掘出来，继续往回退，问他：“任意角的三角函数定理，你知道吧?”
他说不知道。
我说：“在一个直角三角形里，那个sinα等于什么?”
“cosα等于邻边比斜边。”
“tanα呢?”
“等于对边比邻边。”
我总算松了一口气，说：“孩子你太厉害了，你竟然连这个东西都记着，就从它开始。”
我为了把这个学生的问题解决，一直给他退到初二的内容了，从初二开始讲起。
我说：“跟着我想，我们要把这个直角三角形平移到直角坐标系下边，你看那个斜边成了直角坐标系下的一个角的终边，那么你说，sinα等于什么?cosα等于什么?”
他一想，于是就出现了任意角的三角函数定义，然后用任意角的三角函数，我引导着他派生出同角三角函数间的基本关系、平方关系、商数关系、倒数关系，这些都是他自己推导的。我继续引导这个学生往前走，结果在我的引导下，用了两个小时的时间，这个学生竟然从锐角三角函数定义开始，把他高中学过的所有的三角函数的公式全部推导了一遍。我在旁边看着，他的鼻尖上都冒汗了，状态非常投入。
我说：“今天这个课就上到这儿吧，我看你这两个小时把三角函数的内容全给搞定了。”
他吃了一惊，问：“老师，多长时间了?真的过了两个小时了吗?”
我说：“你看看表，咱们从八点开始，你看现在都十点多了。”
他说：“老师，原来学习这么好玩!我学了这么多年数学，也没找着一次这样的感觉，这两个小时我怎么把三角函数全给搞定了?”
他说：“不需要记忆，我现在绝对能记住。因为我都会推导它了，我还怕它吗?”
在理解的基础上，加以记忆，这是一个很好的办法。碰到记不住的公式，自己推导一下，就算考试时一时想不起来，现推都来得及。而且你推导过几次，那个公式就逐步成为你永恒的记忆。
由此可见，要在理解的基础上加以记忆。其实好多问题，你理解了，就记住了;你不理解它，硬性的记忆，可能用的时间很长，也记不住，就算记住也会忘得很快。
数学上的很多定理，你要把它记下来很难，但你要是把这个定理求证一遍，它就活灵活现地展现在你面前，这个定理你不用记就记住了。
初中三角函数在理解之后，便能举一反三，而这样一来，公式就多了，要是记忆这些公式，负担是很重的。但是我的学生对三角函数的公式基本不用记，都能掌握得比较好。我让学生详细地把这些公式推导一遍，看这些公式是怎么得到的，顺着源头，一步步地自己推下来。学生推了一遍之后，就感觉那个公式就像他们自己发明的一样，再去记忆这个公式就很容易了，即使忘了也不要紧，再从头推一遍就行了。
⌑ 解三角函数的思想总结 ⌑
《锐角三角函数》（第一课时），所选用的教材为人教版义务教育课程标准实验教科书。根据新课标的理念，对于本节课，以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析，教学目标分析，教学方法和学法分析，教学过程分析四个方面加以说明。
一、教材的地位和作用
1、教材分析
本节教材是人教版初中数学新教材九年级下第28章第一节内容，是初中数学的重要内容之一。一方面，这是在学习了直角三角形两锐角关系、勾股定理等知识的基础上，对直角三角形边角关系的进一步深入和拓展；另一方面，又为解直角三角形等知识奠定了基础，也是高中进一步研究三角函数、反三角函数的工具性内容。鉴于这种认识，我认为，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
2、学情分析
从学生的年龄特征和认知特征来看：
九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的意识。
从学生已具备的知识和技能来看：
九年级学生已经掌握直角三角形中各边和各角的关系，能灵活运用相似图形的性质及判定方法解决问题，有较强的推理证明能力，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础。
从心理特征来看：九年级学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。
从学生有待于提高的知识和技能来看：
学生要得出直角三角形中边与角之间的关系，需要观察、思考、交流，进一步体会数学知识之间的联系，感受数形结合的思想，体会锐角三角函数的意义，提高应用数学和合作交流的能力。学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明了，深入浅出的剖析。
3、教学重点、难点
根据以上对教材的地位和作用，以及学情分析，结合新课标对本节课的要求，我认为本节课的重点为：理解正弦函数意义，并会求锐角的正弦值。
难点为：根据锐角的正弦值及一边，求直角三角形的其它边长。
二、教学目标分析：
新课标指出，教学目标应从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等四个方面阐述，而这四维目标又应是紧密联系的一个完整的整体，学生学知识技能的过程同时成为学会学习，形成正确价值观的过程，这告诉我们，在教学中应以知识技能为主线，渗透情感态度，并把前面两者通过数学思考充分体现在问题解决中。借此结合以上教材分析，将四个目标进行整合，确定本节课的教学目标为：
1. 理解锐角正弦的意义，并会求锐角的正弦值；
2 掌握根据锐角的正弦值及直角三角形的一边，求直角三角形的其它边长的方法；
3 经历锐角正弦的意义探索的过程，培养学生 观察分析、类比归纳的探究问题的能力；
4 通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的合理性和严谨性，使学生养成积极思考，独立思考的好习惯，并且同时培养学生的团队合作精神。
三、教学方法和学法分析
现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者，教学的一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的学情情况，本节课我采用“三动五自主”的教学模式，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和合作交流的形式，在教师的指道下发现、分析和解决问题，在引导分析时，给学生流出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构。
本节课的教法采用的是情境引导和自学教学法，在教学过程中，通过适宜的问题情境引发新的认知冲突；建立知识间的联系。教师通过引导、指导、反馈、评价，不断激发学生对问题的好奇心，使其在积极的自主活动中主动参与概念的建构过程，并运用数学知识解决实际问题，享受数学学习带来的乐趣。
本节课的学习方法采用自主探究法与合作交流法相结合。本节课数学活动贯穿始终，既有学生自主探究的，也有小组合作交流的，旨在让学生从自主探究中发展，从合作交流中提高。
四、教学过程
新课标指出，数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，本节课主要安排以下教学环节：
（一）自学提纲
1、 已知：在Rt△ABC中，∠C=900，∠A=30°，BC=10m，求AB
已知：在Rt△ABC中，∠C=900，∠A=30°，AB=20m，求BC
设计意图：建构注意主张教学应从学生已有的知识体系出发，相似的三角形性质是本节课深入研究锐角正弦的认知基础，这样设计有利于引导学生顺利地进入学习情境。
2、 创设情境，提出问题
利用多媒体播放意大利比萨斜塔图片，然后老师问：比萨斜塔中条件和要探究的问题：“你能根据问题背景画出直角三角形并且利用边求出斜塔的倾斜角吗？”这就是今天我们要学习锐角三角函数（板书课题）
设计意图：以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识产生设疑，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望。
通过情境创设，学生已激发了强烈的求知欲望，产生了强劲的学习动力，此时我把学生带入下一环节。
（二）合作交流
1、阅读课本P74问题与思考 (要求学生独立思考后小组内合作探究)
结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值 。
2、阅读课本P75思考，并求值
结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 。
设计意图：现代数学教学论指出，数学知识的教学必须在学生自主探索，经验归纳的基础上获得，教学中必须展现思维的过程性，在这里，通过观察分析、独立思考、小组交流 等活动，引导学生归纳。
3、阅读课本P75探究 。
问：锐角A度数一定时，不管直角三角形的大小如何，它的对边与斜边的比有什么关系？你能解释吗？
4、正弦函数定义：在Rt△ABC中，∠C=900，把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=BC/AB
对定义的几点说明：
1、sinA是一个完整的符号，表示∠A的正弦习惯上省略“∠”的符号.
2、本章我们只研究锐角的正弦。
通过前面的学习，学生已基本把握了本节课所要学习的内容，此时，他们急于寻找一块用武之地，以展示自我，体验成功，于是我把学生引入到下一环节。
（三）自主展示（强化训练，巩固双基）
1、（例1课本P76）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，根据图中数据
求sinA和sinB
2、课本77页练习
3、判断对错（学生口答）
(1)若锐角∠A=∠B，则sinA=sinB （ ）
（2）sin60°=30°+sin30° （ ）
4、将Rt△ABC各边扩大100倍,则sinA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不确定
5、平面直角坐标系中点P（3，- 4），OP与x轴的夹角为∠1，求sin∠1的值。
6、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=3/5，求：AB, AC的长。
设计意图：例题及练习题由浅入深、由易到难、各有侧重，体现新课标提出的让不同的学生在数学上得到不同发展的教学理念。这一环节总的设计意图是反馈教学，内化知识。
（四）自主评价（小结归纳，拓展深化）
我的理解是，小结归纳不应该仅仅是知识的简单罗列，而应该是优化认知结构，完善知识体系的一种有效手段，为充分发挥学生的主题作用，从学习的知识、方法、体验是那个方面进行归纳，我设计了这么三个问题：
① 通过本节课的学习，你学会了哪些知识；
② 通过本节课的学习，你最大的体验是什么；
③ 通过本节课的学习，你掌握了哪些学习数学的方法？
（五）自主拓展（提高升华）
1、课本习题28.1第1、2、题。（只做与正弦函数有关的部分）；
2、选做题：已知：在Rt△ABC中，∠C=900，sinA=1/3，周长为60，求：斜边AB的长.
以作业的巩固性和发展性为出发点，我设计了必做题和选做题，必做题是对本节课内容的一个反馈，选做题是对本节课知识的.一个延伸。总的设计意图是反馈教学，巩固提高。
以上几个环节环环相扣，层层深入，并充分体现教师与学生的交流互动，在教师的整体调控下，学生通过动脑思考、层层递进，对知识的理解逐步深入，为了使课堂效益达到最佳状态，我设计以下问题加以追问：
1、sinA能为负吗？
2、比较sin45°和sin30°的大小。
设计要求：（1）先学生独立思考后小组内探究
(2)各组交流展示探究结果，并且组内或各组之间自主评价.
设计意图：
（1）有一定难度需要学生进行合作探究，有利于培养学生善于反思的好习惯.
（2）学生通过互评自评，可以使学生全面了解自己的学习过程，感受自己的成长和进步，同时促进学生对学习及时进行反思，为教师全面了解学生的学习状况，改进教学，实施因材施教提供重要依据。
教学反思
1．本教学设计以直角三角形为主线，力求体现生活化课堂的理念，让学生在经历“问题情境——形成概念——应用拓展——反思提高”的基本过程中，体验知识间的内在联系，让学生感受探究的乐趣，使学生在学中思，在思中学。
2.在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用。
3.正弦是生活中应用较广泛的三角函数。因而在本节课的设计中力求贴近生活。又从意大利比萨斜塔提炼出了数学问题，让学生体会学数学、用数学的乐趣。
⌑ 解三角函数的思想总结 ⌑
sin(++)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin
cos(++)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos
tan(++)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan)
两角和差
cos(+)=coscos-sinsin
cos(-)=coscos+sinsin
sin()=sincoscossin
tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)
tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)
和差化积
sin+sin = 2 sin[(+)/2] cos[(-)/2]
sin-sin = 2 cos[(+)/2] sin[(-)/2]
cos+cos = 2 cos[(+)/2] cos[(-)/2]
cos-cos = -2 sin[(+)/2] sin[(-)/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
积化和差
sinsin = [cos(-)-cos(+)] /2
coscos = [cos(+)+cos(-)]/2
sincos = [sin(+)+sin(-)]/2
cossin = [sin(+)-sin(-)]/2
诱导公式
sin(-) = -sin
cos(-) = cos
tan (a)=-tan
sin(/2-) = cos
cos(/2-) = sin
sin(/2+) = cos
cos(/2+) = -sin
sin() = sin
cos() = -cos
sin() = -sin
cos() = -cos
tanA= sinA/cosA
tan(/2+)=-cot
tan(/2-)=cot
tan()=-tan
tan()=tan
万能公式
sin=2tan(/2)/[1+tan^(/2)]
cos=[1-tan^(/2)]/1+tan^(/2)]
tan=2tan(/2)/[1-tan^(/2)]
其它公式
(1)(sin)^2+(cos)^2=1
(2)1+(tan)^2=(sec)^2
(3)1+(cot)^2=(csc)^2
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sin)^2,第二个除(cos)^2即可
(4)对于任意非直角三角形,总有
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证:
A+B=-C
tan(A+B)=tan(-C)
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
得证
同样可以得证,当x+y+z=nZ)时,该关系式也成立
由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论
(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)
(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC
(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC
(9)sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)++sin[+2*(n-1)/n]=0
cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)++cos[+2*(n-1)/n]=0 以及
sin^2()+sin^2(-2/3)+sin^2(+2/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
⌑ 解三角函数的思想总结 ⌑
1、锐角三角形中，任意两个内角的和都属于区间 ,且满足不等式：
即：一角的正弦大于另一个角的余弦。
2、若 ,则 ,
3、 的图象的对称中心为 ( ),对称轴方程为 。
4、 的图象的对称中心为 ( ),对称轴方程为 。
5、 及 的图象的对称中心为 ( )。
6、常用三角公式：
有理公式： ;
降次公式： , ;
万能公式： , , (其中 )。
7、辅助角公式： ,其中 。辅助角 的位置由坐标 决定，即角 的终边过点 。
8、 时， 。
9、 。
其中 为内切圆半径， 为外接圆半径。
特别地：直角 中，设c为斜边，则内切圆半径 ,外接圆半径 。
10、 的图象 的图象( 时，向左平移 个单位， 时，向右平移 个单位)。
11、解题时，条件中若有 出现，则可设 ,
则 。
12、等腰三角形 中，若 且 ,则 。
13、若等边三角形的边长为 ,则其中线长为 ,面积为 。
14、 ;
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⌑ 解三角函数的思想总结 ⌑
在三角函数中，同角三角函数关系式问题一直是重点和难点问题。
同角三角函数关系式
积的关系sinα=tanα×cosα
cosα=cotα×sinα
tanα=sinα×secα
cotα=cosα×cscα
secα=tanα×cscα
cscα=secα×cotα・对称性
180度-α的终边和α的终边关于y轴对称。
-α的终边和α的终边关于x轴对称。
180度+α的终边和α的终边关于原点对称。
90度-α的终边和α的终边关于y=x对称。
温馨提示：上面的内容是同角三角函数关系式，同学们看过以后做好能都熟记。
[初中数学同角三角函数公式总结]
⌑ 解三角函数的思想总结 ⌑
1.若cos=-35，2，)，则tan=________.
解析：cos=-35，2，)，所以sin=45，tan=sincos=-43.
2.若sin=-45，tan0，则cos=________.
解析：由sin=-450，tan0知，是第三象限角，故cos=-35.
3.若sin(6+)=35，则cos(3-)=________.
解析：cos(3-)=cos[6+)]=sin(6+)=35.答案：35
4.已知sinx=2cosx，则5sinx-cosx2sinx+cosx=______.
解析：∵sinx=2cosx，tanx=2，5sinx-cosx2sinx+cosx=5tanx-12tanx+1=95.
5.(原创题)若cos2+cos=0，则sin2+sin=________.
解析：由cos2+cos=0，得2cos2-1+cos=0，所以cos=-1或cos=12，当cos=-1时，有sin=0，当cos=12时，有sin=32.于是sin2+sin=sin(2cos+1)=0或3或-3.答案：0或3或-3
6.已知sincos(-8)=60169，且4，2)，求cos，sin的值.
解：由题意，得2sincos=19.①又∵sin2+cos2=1，②
①+②得：(sin+cos)2=289169，②-①得：(sin-cos)2=49169.
又∵4，2)，sincos0，即sin+cos0，sin-cos0，
1.已知sinx=2cosx，则sin2x+1=________.
解析：由已知，得tanx=2，所以sin2x+1=2sin2x+cos2x=2sin2x+cos2xsin2x+cos2x=2tan2x+1tan2x+1=95.答案：95
2. cos103=________.
解析：cos103=cos43=-cos3=-12.答案：-12
3.已知sin=35，且2，)，那么sin2cos2的值等于________.
解析：cos=-1-sin2=-45， sin2cos2=2sincoscos2=2sincos=235-45=-32.
4.若tan=2，则sin+cossin-cos+cos2=_________________.
解析：sin+cossin-cos+cos2=sin+cossin-cos+cos2sin2+cos2=tan+1tan-1+1tan2+1=165.答案：165
5.已知tanx=sin(x+2)，则sinx=___________________.
解析：∵tanx=sin(x+2)=cosx，sinx=cos2x，sin2x+sinx-1=0，解得sinx=5-12.答案：5-12
6.若[0，)，且cos(sin+cos)=1，则=________.
解析：由cos(sin+cos)=1sincos=1-cos2=sin2sin(sin-cos)=0sin=0或sin-cos=0，又∵[0，)，=0或4.答案：0或4
7.已知sin(12)=13，则cos(+712)的值等于________.
解析：由已知，得cos(+712)=cos[(12)+2]=-sin(12)=-13.
8.若cos+2sin=-5，则tan=________.
将①代入②得(5sin+2)2=0，sin=-255，cos=-55，tan=2.
9.已知f()=sin()cos(2)tan(-+32)cos(-)，则f(-313)的值为________.
解析：∵f()=sincoscot-cos=-cos，f(-313)=-cos3=-12.答案：-12
10.求sin(2n3)cos(n3)(nZ)的值.
解：(1)当n为奇数时，sin(2n3)cos(n3)=sin2cos[(n+1)3]
=sin(3)cos3=sincos3=3212=34.
(2)当n为偶数时，sin(2n3)cos(n3)=sin2cos43=sin(3)cos(3)=sin(-cos3)=32(-12)=-34.
11.在△ABC中，若sin(2-A)=-2sin(-B)，3cosA=-2cos(-B)，求△ABC的三内角.
解：由已知，得sinA=2sinB，①3cosA=2cosB， ②
(1)当cosA=22时，cosB=32，又A、B是三角形内角，A=4，B=6，C=-(A+B)=712.(2)当cosA=-22时，cosB=-32.又A、B是三角形内角，A=34，B=56，不合题意.综上知，A=4，B=6，C=712.
12.已知向量a=(3，1)，向量b=(sin-m，cos).
(1)若a∥b，且[0,2)，将m表示为的函数，并求m的最小值及相应的(2)若ab，且m=0，求cos(2-)sin(+2)cos()的值.
解：(1)∵a∥b，3cos-1(sin-m)=0，m=sin-3cos=2sin(3).
又∵[0,2)，当sin(3)=-1时，mmin=-2.
此时3=32，即=116.
(2)∵ab，且m=0，3sin+cos=0.tan=-33.
cos(2-)sin(+2)cos()=sin(-sin2)-cos=tan2sincos
=tan2sincossin2+cos2=tan2tan1+tan2=12.
⌑ 解三角函数的思想总结 ⌑
1.已知函数f(x)=sin(x-2)(xR)，下面结论错误的是.
①函数f(x)的最小正周期为2②函数f(x)在区间[0，2]上是增函数
解析：∵y=sin(x-2)=-cosx，y=-cosx为偶函数，
2.函数y=2cos2(x-4)-1是________.
①最小正周期为的奇函数 ②最小正周期为的偶函数 ③最小正周期为2的奇函数 ④最小正周期为2的偶函数
解析：y=2cos2(x-4)-1=cos(2x-2)=sin2x，T=，且为奇函数.
3.若函数f(x)=(1+3tanx)cosx，02，则f(x)的最大值为________.
解析：f(x)=(1+3sinxcosx)cosx=cosx+3sinx=2sin(x+6)，
4.已知函数f(x)=asin2x+cos2x(aR)图象的一条对称轴方程为x=12，则a的值为________.
解析：∵x=12是对称轴，f(0)=f(6)，即cos0=asin3+cos3，a=33.
5.设f(x)=Asin(x+0，0)的图象关于直线x=3对称，它的最小正周期是，则f(x)图象上的一个对称中心是________(写出一个即可).
解析：∵T=2=，=2，又∵函数的图象关于直线x=3对称，所以有sin(23+)=1，-6(k1Z)，由sin(2x+k16)=0得2x+k16=k2(k2Z)，x=12+(k2-k1)2，当k1=k2时，x=12，f(x)图象的一个对称中心为(12，0).答案：(12，0)
6.设函数f(x)=3cos2x+sinxcosx-32.
(1)求函数f(x)的最小正周期T，并求出函数f(x)的单调递增区间;
(2)求在[0,3)内使f(x)取到最大值的所有x的和.
解：(1)f(x)=32(cos2x+1)+12sin2x-32=32cos2x+12sin2x=sin(2x+3)，
故T=.由2k23+2(kZ)，得kk12，
所以单调递增区间为[k，k12](kZ).
(2)令f(x)=1，即sin(2x+3)=1，则2x++2(kZ).于是x=k12(kZ)，∵03，且kZ，k=0,1,2，则+12)+(212)=134.
在[0,3)内使f(x)取到最大值的所有x的和为134.
1.函数f(x)=sin(23x+2)+sin23x的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________.
解析：f(x)=cos2x3+sin2x3=2sin(2x3+4)，相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，T=2，T2=32.答案：32
2.给定性质：a最小正周期为b图象关于直线x=3对称.则下列四个函数中，同时具有性质ab的是________.
①y=sin(x2+6)②y=sin(2x+6) ③y=sin|x| ④y=sin(2x-6)
解析：④中，∵T=2=，=2.又23-2，所以x=3为对称轴.
解析：41，令tan2x-1=t0，则y=tan2xtan3x=2tan4x1-tan2x=2(t+1)2-t=-2(t+1t+2)-8，故填-8.答案：-8
4.(函数f(x)=sin2x+2cosx在区间[-23，]上的最大值为1，则的值是________.
解析：因为f(x)=sin2x+2cosx=-cos2x+2cosx+1=-(cosx-1)2+2，又其在区间[-23，]上的最大值为1，可知只能取-2. 答案：-2
5.若函数f(x)=2sinx(0)在[-23，23]上单调递增，则的最大值为________.
6.设函数y=2sin(2x+3)的图象关于点P(x0,0)成中心对称，若x02，0]，则x0=________.
解析：因为图象的对称中心是其与x轴的交点，所以由y=2sin(2x0+3)=0，x02，0]，得x0=-6.答案：-6
7.已知函数y=Asin(x+)+m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2，直线x=3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是________.
①y=4sin(4x+6)②y=2sin(2x+3)+2③y=2sin(4x+3)+2 ④y=2sin(4x+6)+2
解析：因为已知函数的最大值为4，最小值为0，所以A+m=4m-A=0，解得A=m=2，又最小正周期为2=2，所以=4，又直线x=3是其图象的一条对称轴，将x=3代入得sin(43+)=1，所以3=k2(kZ)，即-56(kZ)，当k=1时，6.答案：④
8.有一种波，其波形为函数y=sin2x的图象，若在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________.
解析：函数y=sin2x的周期T=4，若在区间[0，t]上至少出现两个波峰，则t54T=5.答案：5
9.已知函数f(x)=3sinx+cosx(0)，y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于，则f(x)的单调递增区间是________.
解析：∵y=3sinx+cosx=2sin(x+6)，且由函数y=f(x)与直线y=2的两个相邻交点间的距离为知，函数y=f(x)的周期T=，T=2=，解得=2，f(x)=2sin(2x+6).令2k26+2(kZ)，得k3k6(kZ).答案：[k3，k6](kZ)
10.已知向量a=(2sinx，cos2x)，向量b=(cosx,23)，其中0，函数f(x)=ab，若f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为.(1)求f(x)的解析式;(2)若对任意实数x6，3]，恒有|f(x)-m|2成立，求实数m的取值范围.
解：(1)f(x)=ab=(2sinx，cos2x)(cosx,23)=sin2x+3(1+cos2x)=2sin(2x+3)+3.∵相邻两对称轴的距离为，2=2，=12，
f(x)=2sin(x+3)+3.
(2)∵x6，3]，x+[2，23]，232+3.又∵|f(x)-m|2，
-2+m23，2+m2+3，解得32+23.
11.设函数f(x)=ab，其中向量a=(2cosx,1)，b=(cosx，3sin2x+m).
(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0，]上的单调递增区间;
(2)当x[0，6]时，f(x)的最大值为4，求m的值.
解：(1)∵f(x)=ab=2cos2x+3sin2x+m=2sin(2x+6)+m+1，
函数f(x)的最小正周期T=2.
在[0，]上的`单调递增区间为[0，6]，[2].
(2)当x[0，6]时，∵f(x)单调递增，当x=6时，f(x)取得最大值为m+3，即m+3=4，解之得m=1，m的值为1.
12.已知函数f(x)=3sinx-2sin2x2+m(0)的最小正周期为3，且当x[0，]时，函数 f(x)的最小值为0.(1)求函数f(x)的表达式;(2)在△ABC中，若f(C)=1，且2sin2B=cosB+cos(A-C)，求sinA的值.
解：(1)f(x)=3sinx+cosx-1+m=2sin(x+6)-1+m.
依题意，函数f(x)的最小正周期为3，即2=3，解得=23.
f(x)=2sin(2x3+6)-1+m.
当x[0，]时，2x3+56，12sin(2x3+1，
f(x)的最小值为m.依题意，m=0.f(x)=2sin(2x3+6)-1.
(2)由题意，得f(C)=2sin(2C3+6)-1=1，sin(2C3+6)=1.
而2C3+56，2C3+2，解得C=2.A+B=2.
在Rt△ABC中，∵A+B=2，2sin2B=cosB+cos(A-C).
2cos2A-sinA-sinA=0，解得sinA=-152.∵0
⌑ 解三角函数的思想总结 ⌑
1.能够把数学问题转化成数学问题。
2.能够错助于计算器进行有三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明，发展数学的应用意识和解决问题的能力。
经历探索实际问题的过程，进一步三角函数在解决实际问题过程中的应用。
积极参与探索活动，并在探索过程中发表自己的见解，三角函数是解决实际问题的有效工具。
重点：能够把数学问题转化成数学问题，能够借助于计算器进行有三角函数的计算。
难点：能够把数学问题转化成解直角三角形问题，会正确选用适合的直角三角形的边角关系。
一、问题引入，了解仰角俯角的概念。
提出问题：某飞机在空中A处的高度AC＝1500米，此时从飞机看地面目标B的俯角为18°，求A、B间的距离。
提问：1.俯角是什么样的角？，如果这时从地面B点看飞机呢，称∠ABC是什么角呢？这两个角有什么关系？
2.这个△ABC是什么三角形？图中的边角在实际问题中的意义是什么，求的是什么，在这个几何图形中已知什么，又是求哪条线段的长，选用什么方法？
教师通过问题的分析与讨论与学生共同学习也仰角与俯角的概念，也为运用新知识解决实际问题提供了一定的模式。
二、测量物体的高度或宽度问题.
我们学习中介绍过测量物高的一些方法，现在我们又学习了锐角三角函数，能不能利用新的知识来解决这些问题呢。
利用三角函数的前提条件是什么？那么如果要测旗杆的高度，你能设计一个方案来利用三角函数的知识来解决吗？
学生分组讨论体会用多种方法解决问题，解决问题需要适当的数学模型。
2.运用新方法，解决新问题.
⑴从1.5米高的测量仪上测得古塔顶端的仰角是30°，测量仪距古塔60米，则古塔高（ ）米。
⑵从山顶望地面正西方向有C、D两个地点，俯角分别是45°、30°，已知C、D相距100米，那么山高（ ）米。
⑶要测量河流某段的宽度，测量员在洒一岸选了一点A，在另一岸选了两个点B和C，且B、C相距200米，测得∠ACB＝45°，∠ABC＝60°，求河宽（精确到0.1米）。
在这一部分的练习中，引导学生正确来图，构造直角三角形解决实际问题，渗透建模的数学思想。
一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在北偏东60°的方向上；40nin后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东30°的方向上。已知以小岛C为中心，10海里为半径的范围内是多暗礁的危险区。这艘渔船如果继续向东追赶鱼群，有有进入危险区的可能？
⑵分析图中的线段与角的实际意义与要解决的问题，
⑶不存在直角三角形时需要做辅助线构造直角三角形，如何构造？
⑷选用适当的边角关系解决数学问题，
⑸按要求确定正确答案，说明结果的实际意义。
某景区有两景点A、B，为方便游客，风景管理处决定在相距2千米的A、B两景点之间修一条笔直的公路（即线段AB）。经测量在A点北偏东60°的方向上在B点北偏西45°的方向上，有一半径为0.7千米的小水潭，问水潭会不会影响公路的修建？为什么？
学生可以分组讨论来解决这一问题，提出不同的方法。
重点：灵活选择题目给定的条件，利用待定系数法确定函数解析式.
难点：会利用或找出给的条件设出函数解析式的一般形式.
考点：待定系数法是确定代数式中某些项的系数的重要数学方法，它是以代数式形式上的恒等变换的性质为依据，通过特定的已知条件，辩证地转化已知和未知的关系，从而求得代数式中某些系数的值，在中考题目中往往会有多处涉及，其中临沂市近几年中考题最后压轴的第一问多是利用待定系数法确定函数解析式.
通过训练，让学生熟练掌握待定系数法确定函数解析式.
1.如图1，一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=－x的图象交于点B，则该一次函数的表达式为（ ）
A．y=－x+2 B．y=x+2 C．y=x －2 D．y= －x－2
2.已知点A（m，1）在直线y=2x－1上，求m的方法 是 ，可得m= .
3.已知点B（－2，n）在直线y=2x－1上，求n的方法是 ，可得n= .
4.已知某一次函数的图象经过点P（3，5）和Q（－4，－9），求一次函数的解析式是一般先 ，再由已知条件可得 ，解得 ，∴满足已知条件的一次函数解析式是： ，这个一次函数解析式的图象与坐标轴交点坐标为： .
5.一次函数的图象经过反比例函数 的图象上的A、B两点，且点A的横坐标与点B的纵坐标都是2. 求这个一次函数的解析式.教师引入新课后，出示题目，学生自主完成.
教师巡视，及时发现学生完成的情况，记录下所出现的问题，以便集中处理.
教师要求学生在做题的同时，总结解决问题所运用的知识点、方法和规律.
找学生展示完成的情况，师生共同点评和分析，同时就检查过程中发现的问题进行处理，就本部分所用到的知识进行 方法总结.
【例1】如图2，抛物线经过 三点．求出抛物线的解析式.
【例2】如图3，一次函数 与反比例函数 的图像交与A(2,3)B(-3，n)两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx＋b＞ 的解集： .
（3）过B点作BD⊥x轴，垂足为C,求△ABC的面积.
【变式练习】已知如图4，抛物线经过A(-2,0),B(-3,3)及原点O,顶点为C.求抛物线的解析式；
教师出示例题，学生开始思考，先独立分析，然后在小组内交流，解答.
教师巡视，了解学生的讨论情况或解答的情况，搜集要强调的知识点、解题的方法及易出错的地方等等.
学生讨论交流后，请3位学生讲解.
展示部分学生的解答练习.
师生共同评析.
1．点（2,4）在一次函数 的图象上，则 _____.
2．若反比例函数 的图象经过点 ，则该函数的解析式为_____．
3.函数 y＝x2＋bx＋3 的图象经过点(－1, 0)，则 b＝ .
4.已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图5，则这个二次函数的解析式是 y＝___ .
6.抛物线 y＝x2－4x＋c 的顶点在 x 轴，则 c 的值是（ ）
教师巡视，了解学生的解答的情况，搜集要强调的知识点、解题的方法及易出错的地方等等.
学生展示自己的成果，教师点评分析，并及时地鼓励学生。
通过本节课的复习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？
教师提出问题，学生思考，总结，在小组内交流．
1．本单元教学的主要内容：
二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．
2．本单元在教材中的地位和作用：
二次根式是在学完了八年级下册第十七《反比例正函数》、第十八《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．
（1）理解二次根式的概念．
（2）理解 （a≥0）是一个非负数，（ ）2=a（a≥0）， =a（a≥0）．
（3）掌握 ＝ （a≥0，b≥0）， = ；
= （a≥0，b>0）， = （a≥0，b>0）．
（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．
（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．
（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，并运用规定进行计算．
（3）利用逆向思维，得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．
（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．
通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
1．二次根式 （a≥0）的内涵． （a≥0）是一个非负数；（ ）2＝a（a≥0）； =a（a≥0）及其运用．
2．二次根式乘除法的规定及其运用．
3．最简二次根式的概念．
1．对 （a≥0）是一个非负数的理解；对等式（ ）2＝a（a≥0）及 =a（a≥0）的理解及应用．
2．二次根式的乘法、除法的条限制．
3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．
1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．
2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的科学精神．
本单元教学时间约需11时，具体分配如下：
理解二次根式的概念，并利用 （a≥0）的意义解答具体题目．
提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．
1．重点：形如 （a≥0）的式子叫做二次根式的概念；
（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：
问题1：已知反比例函数y= ，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是___________．
问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．
问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．
老师点评：
问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x= ，所以所求点的坐标（ ， ）．
很明显 、 、 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
2．0的算术平方根是多少？
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、 、 、 （x>0）、 、 、- 、 、 （x≥0，y≥0）．
分析：二次根式应满足两个条：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或0．
解：二次根式有： 、 （x>0）、 、- 、 （x≥0，y≥0）；不是二次根式的有： 、 、 、 ．
例2．当x是多少时， 在实数范围内有意义？
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0， 才能有意义．
例3．当x是多少时， + 在实数范围内有意义？
分析：要使 + 在实数范围内有意义，必须同时满足 中的≥0和 中的x+1≠0．
当x≥- 且x≠-1时， + 在实数范围内有意义．
本节要掌握：
1．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．
1．教材P8复习巩固1、综合应用5．
A． B． C． D．
1．形如________的式子叫做二次根式．
2．面积为a的正方形的边长为________．
1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
2．当x是多少时， +x2在实数范围内有意义？
3．若 + 有意义，则 =_______．
4.使式子 有意义的未知数x有（ ）个．
5.已知a、b为实数，且 +2 =b+4，求a、b的值．
三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x= ．
∴当x>- 且x≠0时， ＋x2在实数范围内没有意义．
1． （a≥0）是一个非负数；
理解 （a≥0）是一个非负数和（ ）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．
通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出 （a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（ ）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．
1．重点： （a≥0）是一个非负数；（ ）2=a（a≥0）及其运用．
2．难点、关键：用分类思想的方法导出 （a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出（ ）2=a（a≥0）．
1．什么叫二次根式？
2．当a≥0时， 叫什么？当a<0时， 有意义吗？
（a≥0）是一个什么数呢？
（a≥0）是一个非负数．
（ ）2=_______；（ ）2=_______；（ ）2=______；（ ）2=_______；
（ ）2=______；（ ）2=_______；（ ）2=_______．
老师点评： 是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于4的非负数，因此有（ ）2=4．
同理可得：（ ）2=2，（ ）2=9，（ ）2=3，（ ）2= ，（ ）2= ，（ ）2=0，所以
分析：我们可以直接利用（ ）2=a（a≥0）的结论解题．
解：（ ）2 = ，（3 ）2 =32（ ）2=325=45，
分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；
（4）4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）2≥0．
所以上面的4题都可以运用（ ）2=a（a≥0）的重要结论解题．
又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴ =a2+2a+1
（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）2
1． （a≥0）是一个非负数；
1．教材P8 复习巩固2．（1）、（2） P9 7．
1．下列各式中 、 、 、 、 、 ，二次根式的个数是（ ）．
2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）．
1．（- ）2=________．
2．已知 有意义，那么是一个_______数．
（1）（ ）2 （2）-（ ）2 （3）（ ）2 （4）（-3 ）2
2．把下列非负数写成一个数的平方的'形式:
3．已知 + =0，求xy的值．
4．在实数范围内分解下列因式:
三、1．（1）（ ）2=9 （2）-（ ）2=-3 （3）（ ）2= ×6=
（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+ ）（x- ）
如图：AB是直径（弦AB过圆点），CD是弦，且CD⊥AB于P，你能在图中找到其他相等的量吗？
在垂径定理中，题设与结论共有5个语句，分别是：
(1)弦AB过圆心O（AB是直径）；(2)弦AB垂直于弦CD（AB⊥CD）;
(3)弦AB平分弦CD（DP=CP）；(4)弦AB平分 （ ）;
(5)弦AB平分 （ ）;
其中用任两个作为条件，都可以推出其他三个结论.
例1：在⊙O中，弦AB的长为16cm，圆的半径是10cm，求圆心O到AB的距离。
的度数是120°, 的度数是240°,则CE= ,
ED= ,
2、在⊙O中，半径OA=30，弦AB长30，求点O到AB的距离。
分析：(1)点O到AB的距离是过点O作AB的 线，垂足为 ，此时线段 为点O到AB的距离。
(2)要求点O到AB的距离，即求线段 的长，此时线段在什么图形中？
已知什么条件，可用什么方法？
3、图1：在⊙O中，AB是直径，AB⊥CD于E，若CD=16，圆的半径为10，则圆心到弦CD的距离是
4、图1:在⊙O中，若 ， ，则弦AB必经过 ，且DE=
5、图1：在⊙O中，OE=5，弦CD=24，AB⊥CD于E,则⊙O的半径为
6、如图，MN是⊙O的直径，C是AB的中点，AB=6，OC=4，求OA及直径MN
∴AC=
7、如图，在⊙O中，AB是弦，∠AOB=120°,OA=5cm，则圆心O到AB的距离和弦AB的长。
解：
8、如图：在半径为5cm的圆中，AC是直径，弦AB⊥BC，OD⊥AB于D，若BC=6cm，求OD和AB的长.
9、如图⊙O的半径是5cm，AB和CD是两条弦，且AB∥CD，AB=6 cm，CD=8 cm，求AB和CD的距离。
解：
10、右图是我国隋代建造的赵州桥，我们可以很方便地量出它的跨度为37.4米，拱高为7.2米，我们怎样通过跨度和拱高求出桥拱的半径？
目标进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力；
重点了解勾股定理及其逆定理的证明方法；
难点结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
它的条是：______ _______________________ _________;
结论是：______________ ________________。
-
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3、将勾股定理的条和结论分别变成结论和条，其内容是：
下面我们试着将上述命题证明：
分析：要△ABC是直角三角形，只须∠A=90°，单独只有一个三角形不能得出结论，那就需用另外作一个Rt△A′B′C′,使∠A′=90°, A′B′=AB, A′C′=AC，通过证三角形全等得到结论。
证明：
定理：如果三角形两边的__________等于______ _ ___，那么这个三角形是直角三角形。
四、合作交流：
1、观察勾股定理及上述定理，它们的条和结论之间有怎样的关系？然后观察下列每组命题，是否也在类似关系。
（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等。
如果两个角相等，那么它们是对顶角。
（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。
（3）三角形中相等的边所对的角相等。
三角形中相等的角所对的边相等。
像上述每组命题我们称为互逆命题，即一个命的条和结论分别是另一个命题的__________和__________。
2、“想一想”，回答下列问题：
（1）写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题。它们都是真命题吗？
（2）一个命题是真命题，那么它的逆命题也一定是真命题吗？
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
（4）是否任何定理都有逆定理？
（5） 思考我们学过哪些互逆定理？
①8、15、17 ②4、5、6、 ③7.5、4、8.5 ④ 24、25、7 ⑤ 5、8、10
A、两底角相等的两个三角形是等腰三角形。
B、全等三角形的对应角相等。
C、两直线平行，内对角相等。
D、直角三角形两锐角互等。
_______________________________________________
4、已知直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为________，斜边上的高为_________。
5、写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
A、五边形是多边形。
B、两直线平行，同位角相等。
C、如果两个角是对顶角，那么它们相等。
D、如果AB=0，那么A=0，B=0。
6、公园中景点A、B间相距50，景点A、C间相距40，景点B、C间相距30，由这三个景点构成的三角形一定是直角三角形吗？为什么？
7、台风过后，某小学旗杆在B处断裂，旗杆顶A落在离旗杆底部C点8处，已知旗杆原长16，则旗杆在距底部几米处断裂。
8、小明将长2.5的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端B到墙根C的距离是0.7，如果梯子的顶端垂直下滑0.4，那么梯子的底端B将向外移动多少米。
中考真题：用四个全等的直角三角形拼成了一个如图所示的图形，其中a表示较短，直角三角形，b表示较长的直角边，c表示斜边，你能用这个图形证明勾股定理吗？
切线的判定是九年制义务教育课本数学九年级第二学期第三十五章“圆”中的内容之一，是在学完直线和圆三种位置关系概念的基础上进一步研究直线和圆相切的特性，是“圆”这一章的重点之一，是学习圆的切线长和切线长定理等知识的基础。
“切线的判定和性质”共两个课时，课本上将切线判定定理和性质定理的导出作为第一课时，两个定理的运用和切线的两种常用的判定方法作为第二课时。为了突出本节课的重点、突破难点，我没有采用教材安排的顺序，而是依据初三学生认知特点，将切线的判定方法作为第一课时，切线的性质定理以及两个定理的综合运用作为第二课时，这样的设计即是对前面所学的“直线与圆相切的判定方法”的复习，又是对后面学习综合运用两个定理，合理选择两种方法判定切线作了铺垫，让呈现一个循序渐进、温过知新的过程。
本节课主要有三部分内容：（1）切线的判定定理（2）切线的判定定理的应用（3）切线的两种判定方法。教学重点是切线的判定定理及其应用。教学难点是切线判定定理中所阐述的圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视一。
在学习本节内容之前学生已经掌握了圆的切线的定义，直线和圆的三种位置关系和一种直线与圆相切的判定方法（用d=r）。在学习用d=r来判定直线与圆相切的内容时曾为本节内容打过伏笔，设置过悬念，所以学生对本节内容的学习充满期待的。
为了实现教学目标，本节课我主要突出抓好以下五个环节：
1.复习提问??打好基础，为新课作铺垫。
问题1是例2的基础，问题2则起着复旧孕新、引入新课的作用。
2.发现、证明、理解定理??学好基础知识。
根据初三学生有一定创造、自学能力的特点，在教学中，教师通过启发和指导学生阅 读教材，教会学生通过自己观察，发现结论，再设法证明结论的学习方法，同时也强化了学生的阅读、自学能力。
3.应用定理??培养基本技能。
定理是基础，应用是目的。本环节首先给出两道判断题，目的是为了让学生更好地明确此定理的使用条件，然后在此基础上讲解例1。讲解时，我抓住教材本身的特点，用两头凑的办法揭示证题思路，显示证题的书写程序，较好地解决了本课的难点。之后，做两个练习加以巩固，最后由师生共同完成例2，总结出判定切线常用的两种添辅助线的方法。
通过小结，进一步帮助学生明确本节课的重点内容。拓展题是本节内容的提升，不是很难，但有助于培养学生的数学思想以及良好的思维习惯，激发学习的积极性。
5.布置作业??充分发挥家庭作业的 巩固知识、形成技能的作用。作业的分层布置，使每一位学生都有难度适 宜的作业，不但能培养优生，而且可以照顾到后进生，充分体现了因材施教的教学原则。
2、知道判定切线常用的方法有两种，初步掌握方法的选择。
教学难点：切线判定定理中所阐述的圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视一．
【教师】问题1.怎样过直线l上一点P作已知直线的垂线？
问题2.直线和圆有几种位置关系？
问题3.如何判定直线l是⊙O的切线？
（2）圆心O到直线L的距离与半径的数量关系 如何？
学生答完后，教师强调（2）是判定直线 l是⊙O的切线的常用方法，即： 定理：圆心O到直线l的距离OA 等于圆的半 （如图1，投影显示）
再启发：若把距离OA理解为 OA⊥l，OA=r；把点A理解为半径在圆上的端点 ，请同学们试将上面定理用新的理解改写成新的命题，此命题就 是这节课要学的“切线的判定定理”（板书课题）
【学生】命题：经过半径的在圆上的端点且垂直于半 径的直线是圆的切线。
证明定理：启发学生分清命题的题设和结论，写出已 知、求证，分析证明思路，阅读课本P60。
定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
定理的证明：已知：直线l经过半径OA的外端点A，直线l⊥OA，
∴直线l为⊙O的切线。
是非题：
例1、已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
引导学生分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连结OC，只要证明AB⊥OC即可。
∴直线AB是⊙O的切线。
练习1、如图，已知⊙O的半径为R，直线AB经过⊙O上的点A，并且AB=R，∠OBA=45°。求证：直线AB是⊙O的切线。
练习2、如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD于点D，AC平分∠BAD。
例2、如图，已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且BD=OB，过点D作射线DE，使∠ADE=30°。
思考题：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，BD为半径作圆，问⊙D的切线有几条？是哪几条？为什么？
1．切线的判定定理。
2．判定一条直线是圆的切线的方法：
②数量关系：直线到圆心的距离等于该圆半径（即d = r）。
③切线的判定定理：经过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线。
3．证明一条直线是圆的切线的辅助线和证法规律。
凡是已知公共点（如：直线经过圆上的点；直线和圆有一个公共点；）往往是“连结”圆心和公共点，证明“垂直”（直线和半径）；若不知公共点，则过圆心作一条线段垂直于直线，证明所作的线段等于半径。即已知公共点，“连半径，证垂直”；不知公共点，则“作垂直，证半径”。
本课例《切线的判定》作为市考试院调研课型兼区级研讨课，我以“教师为引导，学生为主体”的二期课改的理念出发，通过学生自我活动得到数学结论作为教学重点，呈现学生真实的思维过程为教学宗旨，进行教学设计，目的在于让学生对知识有一个本质的、有效的理解。本节课切实反映了平时的教学情况，为前来调研和研讨的老师提供了真实的样本。反思本节课，有以下几个成功与不足之处：
这批学生习惯于单一知识点的学习，即得出一个知识点，必须由浅入深反复进行练习，巩固后方能加以提升与综合，否则就会混淆概念或定理的条件和结论，导致错误，久之便会失去学习数学的兴趣和信心。本教时课本上将切线判定定理和性质定理的导出作为第一课时，两个定理的运用和切线的两种常用的判定方法作为第二课时，学生往往会因第一时间得不到及时的巩固，对定理本质的东西不能很好地理解，在运用时抓不住关键，解题仅仅停留在模仿层次上，接受能力薄弱的学生更是因知识点多不知所措，在云里雾里。二度设计将切线的判定方法作为第一课时，切线的性质定理以及两个定理的综合运用作为第二课时，这样的设计即是对前面所学的“直线与圆相切的判定方法”的复习，又是对后面学习综合运用两个定理，合理选择两种方法判定切线作了铺垫，教学呈现了一个循序渐进、温过知新的过程。从学生的反馈情况判断，教学效果较为理想。
数感类似与语感、乐感、美感，拥有了感觉，知识便会融会贯通，学习就会轻松。拥有数感，不仅会对数学知识反应灵敏，更会在生活中不知不觉运用数学思维方式解决实际问题。本节课中，两个例题由教师诱导，学生发现完成的，而三个习题则完全放手让学生去思考完成，不乏有不会做和做得复杂的学生，但在展示和交流中，撞击出思维的火花，难以忘怀。让学生尝试总结规律，也是对学生能力的培养，在本节课中，辅助线的规律是由学生得出，事实证明，学生有这样的理解、概括和表达能力。通过思考得出正确的结论，这个结论往往是刻骨铭心的，长此以往，对数和形的感觉会越来越好。
不足之处：
一、这节课没有“高潮”，没有让学生特别兴奋激起求知欲的情境，整个教学过程是在一个平静、和谐的氛围中完成的。
二、课的引入太直截了当，脱离不了应试教学的味道。
三、教学风格的定势使所授知识不能很合理地与生活实际相联系，一定程度上阻碍了学生解决实际问题能力的发展。
目标（知识、能力、教育）1.掌握列方程和方程组解应用题的方法步骤，能够熟练地列方程和方程组解行程问题和工程问题。培养学生分析、解决问题的能力。
2. 掌握列方程（组）解应用题的方法和步骤，并能灵活运用不等式（组）、函数、几何等数学知识，解决有关数字问题、增长率问题及生活中有关应用问题。
重点掌握工程问题、行程问题、增长率问题、盈亏问题、 商品打折、商品利润（率）、储蓄问题中的一些基本数量关系。
相等关系：各部分量之和=总量。设其中一分为 ，由已知各部分量在总量中所占的比例，可得各部分量的代数式
年龄问题大小两个年龄差不会变抓住年龄增长，一年一岁，人人平等。
路程、速度、时间的关系：
2：同时不同地出发 ：前者走的路程+两地间的距离=追击者走的路程
逆水（风）速度=静水（风）速度－水流（风）速度1：与追击、相遇问题的思路方法类似
2：抓住两地距离不变，静水（风）速度不变的特点考虑相等关系。
数字问题多位数的表示方法： 是一个多位数可以表示为 （其中0＜a、b、c＜10的整数）1：抓住数字间或新数、原数间的关系寻找相等关系。
首先确定售价、进价，再看利润率，其次应理解打折、降 价等含义。
2.列方程解应用题的步骤:
（1）审题：仔细阅读题，弄清题意； （2）设未知数：直接设或间接设未知数；
（3）列方程：把所设未知数当作已知数，在题目中寻找等量关系，列方程；
（4 ）解方程； （5）检验：所求的解是否是所列方程的解，是否符合题意；
1. 某商品标价为165元，若降价以九折出售（即优惠 10％），仍可获利10％（相对于进货价），则该商品的进货价是
2. 甲、乙二人投资合办一个企业，并协议按照投资额的比例分配所得利润，已知甲与乙投资额的比例为3：4，首年的利润为38500元，则甲、乙二人可获得利润分别为 元和 元
3. 某公司出口创收135万美元，、每年都比上一年增加a％，那么，19这个公司出口创汇 万美元
4. 某城市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加1.1％，这样全市人口将增加1％，求这个城市现有的城镇人口数与农村人口数，若设城镇现有人口数为x万，农村现有人口y万，则所列方程组为
5. 一个批发与零售兼营的具店规定，凡是一次购买铅笔301支以上（包括301支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款，现有学生小王购买铅笔，如果给学校初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用(m2－1)元（m为正整数，且m2－1>100）；如果多买60支，则可以按批发价付款，同样需用(m2－1)元.设这个学校初三年级共有x名学生，则①x的取值范围应为 ②铅笔的零售价每支应为 元，批发价每支应为 元
1. A、B两地相距64千米，甲骑车比乙骑车每小时少行4千米，如果甲乙二人分别从A、
B两地相向而行，甲比乙先行40分钟，两人相遇时所行路程正好相等，求甲乙二人
的骑车速度．
行程问题即为时间、路程、速度三者之间的关系问题，在分析题意时，先画出示意
图（数形结合思想），然后设未知数，再列表，第一列填含未知数的量，第二列填题
目中最好找的量，第三列不再在题目中找，而是用前面两个量表示，往往等量关系
就在第三列所表示的量中．解完方程时要注意双重检验．
2.某市为了进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路。为
使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%，问原计划完成这项工程用多少个月？
分析：工程量不明确，一般视为1，设原计划完成这项工程用x个月，实际只用了（x-3）
个月.等量关系：
实际工效=原计划工效×（1+12%）．
方程：
3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20，每盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2。
（1）若商场平均每天要盈利1200 元，每衬衫应降价多少元？
（2）每衬衫应降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
注意“尽快减少库存”决定取舍。（2）当 取不同的值时，盈利随 变化，可配方为： 求最大值。但若联系二次函数的最值求解，可设： 结合图象用顶点坐标公式解，思维能力就更上档次了。所以 在应用问题中要发散思维，自觉联系学过的所有数学知识，灵活解决问题。答案：（1）每衬衫应降价20元；（2）每衬衫应降价15元时，商场平均每天盈利最高。
4.某音乐厅5月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，
其中团体票占总票数的 ．若提前购票， 则给予不同程度的优惠，在5月份内，团体
票每张12元，共售出团体票数的 ， 零售票每张16元，共售出零售票数的一半．如果在6月份内，团体票要按每张16元出售，并计划在6月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？
分析：这样的题字一大堆，看到头就发胀，同学们不要怕，要有信心，一定要仔细读题，当你读懂题后事实上这类题还是比较简单的，学数学的目的就是解决现实生活中的实际问题．
因为总票数不明确，所以看为1，设6月零售票每张定价 元．
方程 .
5.要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，
1.如图是某公司近三年的资金投放总额与利润统计示意图，根据图中的信息判断：①
年的利润率比的利润率高2％；②的利润率比的利润率高8％；
③这三年的利润率14％；④这三年中20的利润率最高。其中正确的结论共有（ ）
2.北京至石家庄的铁路长392千米，为适应经济发展，自月21日起，某客
运列车的行车速度每小时比原增加40千米，使得石家庄至北京的行车时间缩短了1
小时，求列车提速前 的速度（只列方程）．
3.春天，在党和政府的领导下，我国 进行了一场抗击“非典”的战争．为了控制
疫情的蔓延，某卫生材料厂接到上 级下达赶制19.2万只加浓抗病毒口罩的任务，为使抗
病毒口罩早日到达防疫第一线，开工后每天比原计划多加工0.4万只，结果提前4天完
成任务，该厂原计划每天加工多少万只口罩？
4.一水池有甲、乙两水管，已知单独打开甲管比单独打开乙管灌满水池需多用10小时．现
在首先打开乙管10小时，然后再打开甲管，共同再灌6小时，可将水池注满，如果一开
始就把两管一同打开，那么需要几小时就能将水池注满？
5.某公司向银行贷款40万元，用生产某种新产品，已知该贷款的年利率为15％
（不计复利，即还贷前每年息不重复计息），每个新产品的成本是2.3元，售价是4元，
应纳税款为销售额的10％。如果每年生产该种产品20万个，并把所得利润（利润＝
销售额－成本－应纳税款）用归还贷款，问需几年后能一次还清？
6.某商店1995年实现利税40万元（利税＝销售金额－成本），19由于在销售管
理上 进行了一系列改革，销售金额增加到154万元，成本却下降到90万元，
（1）这个商店利税年比1995年增长百分之几？
（2）若这个商店1996年比1995年销售金额增长的百分数和成本下降的百分数相同，
求这个商店销售金额1996年比1995年增长百分之几？
⌑ 解三角函数的思想总结 ⌑
高考数学三角函数公式
sinα=∠α的对边/斜边
cosα=∠α的邻边/斜边
tanα=∠α的对边/∠α的邻边
cotα=∠α的邻边/∠α的对边
倍角公式
Sin2A=2SinA?CosA
Cos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1
tan2A=(2tanA)/(1-tanA2)
(注：SinA2是sinA的平方sin2(A))
三倍角公式
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)
tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)
三倍角公式推导
sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina
三角函数辅助角公式
Asinα+Bcosα=(A2+B2)’(1/2)sin(α+t)，其中
sint=B/(A2+B2)’(1/2)
cost=A/(A2+B2)’(1/2)
tant=B/A
Asinα+Bcosα=(A2+B2)’(1/2)cos(α-t)，tant=A/B
降幂公式
sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
三角函数推导公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos2α
1-cos2α=2sin2α
1+sinα=(sinα/2+cosα/2)2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina=3sina-4sin3a
cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa=4cos3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina[(√3/2)2-sin2a]=4sina(sin260°-sin2a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosa[cos2a-(√3/2)2]=4cosa(cos2a-cos230°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
三角函数半角公式
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)
sin2(a/2)=(1-cos(a))/2
cos2(a/2)=(1+cos(a))/2
tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
三角函数三角和
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
三角函数两角和差
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
三角函数和差化积
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
三角函数积化和差
sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
三角函数诱导公式
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(—a)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tanA=sinA/cosA
tan(π/2+α)=-cotα
tan(π/2-α)=cotα
tan(π-α)=-tanα
tan(π+α)=tanα
⌑ 解三角函数的思想总结 ⌑
首先，让学生回顾初中相关内容－－锐角三角函数的概念、特殊角的三角函数值等；
然后将初中的锐角三角形放到直角坐标系中，出现了点的坐标，邻、对、斜变成了横、纵、r(r=|op|)。教材上的定义自然推出；
再次，将r特殊化令r=1，教材上的定义立即出现。
最后，进行定义的应用，教材14页例1考查新教材定义，例2考查旧教材定义；强化练习、课堂小结、布置作业。课上的很顺，自我感觉良好。
但接下来发生的事却直得深思，自习辅导课上针对上节内容布置当堂作业，题目是教材17页第一题，当堂批阅、统计，出错率20％，我很愕然。立即进行进一步的学情调研：让学生每人准备一张白纸，可以不署名，限时做教材23页A组练习第二题，当堂批阅、统计，出错率60％，真的没有想到。
过后，我写下了四条教学反思：
（1）知识与能力：
这节课从知识传授上看比较成功，三个问题环环相扣，但从能力培养上显得不足，主要是在例题与练习的处理上，投入的时间不足，没有及时将知识内化为能力，但通过作业和调研题的讲解，学生对三角函数概念的理解都有了质的飞跃。
（2）循序渐进：
A组练习二的目的是为了调研，此题相对于学生已有的知识是难了一点，因此出错率高。在今后的教学中要注意梯度的设计，跨度不要太大，贴近教材、贴近学生、贴近实际。
（3）教给与教会：
这节课也许是我设计得太自然了，台阶过密、
跨度太小，学生在学习过程中没有遇到陷阱，没有产生激烈的思维碰撞，因此，看似顺畅，效果不佳。下一步要注意梯度的设计，台阶不要过密，要有一定的思维跨度。
（4）不可忽视的浮夸风：
片面追求课堂气氛，将“满堂灌”变成了“满堂问”。学生为了表现自己，争抢回答问题，失去了对问题的深入思考，致使学生基础不扎实了，计算器的使用也降低了学生基本的运算能力。
当统计完调研题后，我提问数学课代表，让他猜测答对率，他回答－－80％（实际为40％）。进一步表明了学生过高估计自己的解题能力，存在着严重的“浮夸风”。在今后的教学中要切实抓好落实，把数学解题真正落实到学生的笔头上。
⌑ 解三角函数的思想总结 ⌑
正弦
sin2A=2sinA·cosA
余弦
s2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)
s2a=1-2Sin^2(a)
s2a=2Cos^2(a)-1
即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)
正切
tan2A=(2tanA)/(1-tan^2(A))
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)
半角公式
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.
sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
和差化积
sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
两角和公式
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ
sinαsinβ =-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2
cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2
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